Rienk (algebra)

Ne rienk is in wiskunde 'n verzoamelienge met doaby 2 bewerkingn die an 'n antal eigenschappn vuldoen. De theorie van de rienk is ountwikkeld deur Emmy Noether, de belangrikste vrouwelikke wiskundige uut de geschiedenisse.

Definitie

Ne rienk $(R,+,\ast )$ is 'n nie-lege verzoamelinge R me 2 bewerkingn ("uptellinge" en "vermenigvuldiginge") $+:R\times R\to R$ en $\ast :R\times R\to R$ me de volgende eigenschappn:

• Inwendig en overol gedefinieerd: $\mathrm{\forall }a,b\in R:a+b\in Rena\ast b\in R$
• Associativiteit: $\mathrm{\forall }a,b,c\in R:(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$ en $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)=a\ast b\ast c$.
• Neutroal element (of êenheidselement) vo d'uptellinge: $\mathrm{\exists }0:\mathrm{\forall }a\in R:a+0=a=0+a$
• Invers element (of symmetrisch element) vo d'uptellinge: $\mathrm{\forall }a\in R:\mathrm{\exists }-a\in R:a+(-a)=0=-a+a$.
• Distributiviteit van de vermenigvuldiginge t.o.v. d'uptellinge: $\mathrm{\forall }a,b,c\in R:(a+b)\ast c=a\ast c+b\ast c$ en $a\ast (b+c)=a\ast b+a\ast c$

Eigenschappn

• 't Neutroal element is ênig.
• 't Invers element is ênig.

Vôorbilden

• De gehêle getalln, de reële getalln met d'uptellinge en vermenigvuldiginge: $\mathbb{Z}$, +, .; $ℝ$,+, ·
• De vierkante matrixn me reële getalln tegoare met d'uptellinge en matrixvermenigvuldiginge: ${ℝ}^{n\times n}$,+, ·